Переходя из начальной школы в среднюю, учащиеся на уроках математики изучают простые и десятичные дроби и вычисления, связанные с ними. Сложение и вычитание простых дробей требуют приведения их к одному знаменателю, затем производятся математические действия с дробями с одинаковыми знаменателями. Мы будем рассматривать деление и умножение дробей.
Содержание
Умножение простых дробей
Умножение дробей — пожалуй, самое простое из вычислений, связанных с дробями. Правила несложные, и решение не должно вызвать затруднений. Умножение обыкновенных дробей входит в программу математики за 5 класс.
Умножаем простые дроби
Если требуется найти произведение двух простых дробей, нужно перемножить числители и записать результат в числитель ответа, затем перемножить знаменатели и результат записать в знаменатель:
\({{7}\over{8}}×{{2}\over{5}}={{14}\over{40}}\)Эту дробь можно сократить, получим \({{7}\over{20}}\).
Видео «Сокращение дробей»
Иногда школьники задают вопрос: как производить умножение дробей с разными знаменателями. При необходимости умножить одну дробь на другую не имеет значения – с одинаковыми они или с разными знаменателями. А вот попытаться максимально сократить числа до вычислений и после них – желательно. Это ускорит решение.
Для сокращения нужно попробовать разложить числа на простые множители:
12 = 2 х 2 х 3;
15 = 5 х 3.
Четные числа можно сократить, разделив на 2. После сокращения чисел вычисления будет производить легче:
Для решения задач с обыкновенными дробями можно пользоваться переместительным и сочетательным свойствами умножения. Это позволяет упростить решение сложных примеров с несколькими множителями, переставив их местами, расставив скобки, что позволит сократить дроби.
Пример
\({{2}\over{9}}×{{12}\over{18}}\)
сократим \({{12}\over{18}}={{2}\over{3}}\)
решаем \({{2}\over{9}}×{{2}\over{3}}={{2×2}\over{9×3}}={{4}\over{27}}\)
Математика: переместительное свойство умножения
Умножение неправильных дробей производится так же, после вычисления при возможности лучше провести сокращение дроби.
Умножаем простую дробь на натуральное число
Если один множитель — простая дробь, а другой — целое число, числитель умножается на это число, а знаменатель остается без изменения. Объяснение простое: любое натуральное число можно записать в виде дроби:
5 = \({{5}\over{1}}\);
Поэтому запись вычисления будет выглядеть так:
\({{3}\over{8}}×4\)= \({{3}\over{8}}×{{4}\over{1}} = {{12}\over{8}} ={{3}\over{2}}\).Из неправильной дроби выделим целую часть: \({{3}\over{2}}\) = 1 \({{1}\over{2}}\)
Умножаем простую дробь на смешанную
Если необходимо перемножить простую дробь на смешанную, вторую нужно превратить в неправильную и произвести вычисления по приведенному выше правилу: \({{3}\over{5}}×1{{1}\over{3}}\) = \({{3}\over{5}} ×{{4}\over{3}} = {{12}\over{15}}\).
Сокращаем дробь:
\({{12}\over{15}}\) = \({{4}\over{5}}\).Умножаем смешанную дробь на смешанную
Такие примеры решаются по тому же принципу: обе дроби превращают в неправильные, перемножают и сокращают:
1 \({{1}\over{5}}\) х 2 \({{1}\over{3}}\) = \({{6}\over{5}}\) х \({{7}\over{3}}\) = \({{42}\over{15}}\) = \({{14}\over{5}}\) = 2 \({{4}\over{5}}\).
Видео «Правила умножения дробей»
Умножаем обратные дроби
Обратными называют дроби, у которых числитель первой дроби равен знаменателю второго, а знаменатель первой дроби равен числителю второй:
Примеры:
\({{4}\over{5}}\) и \({{5}\over{4}}\);
При перемножении между собой взаимно обратных дробей результат будет равен единице.
Действительно, \({{4}\over{5}} ×{{5}\over{4}}={{4 × 5}\over{5 × 4}} = {{20}\over{20}}\) = 1.
Умножение отрицательных дробей
Эта тема может вызывать трудности, поэтому важно запомнить следующие правила:
«минус» на «плюс» дает «минус».
Поэтому до проведения операций с числами нужно «разобраться» со знаками, вынеся их за границы умножения. Если в итоге всех действий останется один «минус», ответом будет отрицательное число, если все «минусы» сократятся – положительное.
Умножение десятичных дробей
Операции с умножением десятичных дробей можно произвести двумя способами:
— Представив десятичную дробь в виде простой:
0,25 х 2,5 = \({{25}\over{100}}\) х \({{250}\over{100}}\) = \({{625}\over{1000}}\).
Умножение десятичных дробей входит в программу математики за 6 класс. Кажущиеся сложными примеры, когда один множитель — десятичная дробь, а другой — обыкновенная, сводятся к тому, что их нужно привести к одному виду – к которому проще:
0,25 × \({{3}\over{4}}\) = \({{25}\over{100}}\) × \({{3}\over{4}}\) = \({{3}\over{16}}\);
Разберем подробнее:
Десятичную дробь 0,25 представили в виде обыкновенной дроби \({{25}\over{100}}\), сократив ее на 25 получим дробь \({{1}\over{4}}\)
затем умножаем \({{1}\over{4}}×{{3}\over{4}}={{1×3}\over{4×4}}\)
Правила умножения дробей можно записать в виде формулы:
\({{a}\over{b}}\) x \({{c}\over{d}}\) = \({{a × c}\over{b × d}}\).
Правила умножения дробей
Понимать правила умножения дробей важно еще и потому, что деление их сводится тоже к действию умножения: при необходимости разделить обыкновенную дробь на обыкновенную, делимое станет первым множителем, а второй множитель — дробь, обратная делителю:
\({{5}\over{9}}\):\({{1}\over{3}}\)=\({{5}\over{9}}\) × \({{3}\over{1}}\) = \({{15}\over{9}}\) = \({{5}\over{3}}\)
Преобразуем 1\({{2}\over{3}}\).
Математика: переместительное свойство умножения
При умножении и делении дробей нужно быть очень внимательными при записи, особенно при сокращении и вычислениях. Не ленитесь записать лишнее промежуточное вычисление: лучше потратить на запись несколько минут, чем, ошибившись, пересчитывать все вновь.
